以下是5道涵盖**平移、拉伸、翻转**且难度较大的函数图像变换题目：
题目1（二次函数综合变换与几何应用）
已知抛物线 \( y = x^2 - 4x + 3 \)，按以下步骤变换：
① 关于x轴反射；
② 向左平移2个单位；
③ 沿y轴方向拉伸为原来的3倍，得到新抛物线 \( y = g(x) \)。
(1) 求 \( g(x) \) 的解析式；
答案： \( g(x) = -3x^2 + 3 \)
解答过程：
原函数： \( y = x^2 - 4x + 3 \)
① 关于x轴反射： \( y = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3 \)
② 向左平移2个单位： \( y = - (x + 2)^2 + 4(x + 2) - 3 = - (x^2 + 4x + 4) + 4x + 8 - 3 = -x^2 - 4x - 4 + 4x + 8 - 3 = -x^2 + 1 \)
③ 沿y轴方向拉伸为原来的3倍： \( y = 3(-x^2 + 1) = -3x^2 + 3 \)
因此 \( g(x) = -3x^2 + 3 \)。
(2) 当直线 \( y = -x + b \) 与 \( g(x) \) 有且只有一个交点时，求 \( b \) 的值；
答案： \( b = \dfrac{37}{12} \)
解答过程：
联立方程： \( -3x^2 + 3 = -x + b \)
\( -3x^2 + x + 3 - b = 0 \)
\( 3x^2 - x + b - 3 = 0 \)
判别式 \( \Delta = 1 - 12(b - 3) = 1 - 12b + 36 = 37 - 12b \)
有且只有一个交点： \( \Delta = 0 \)，\( 37 - 12b = 0 \)，\( b = \dfrac{37}{12} \)。
(3) 设 \( g(x) \) 的顶点为 \( P \)，原抛物线顶点为 \( Q \)，在x轴上找一点 \( T \)，使得 \( \triangle PTQ \) 与 \( \triangle ABC \)（\( A(1,0) \)，\( B(3,0) \)，\( C(2,-1) \)）相似，求 \( T \) 的坐标。
答案： \( T\left(2 - \dfrac{\sqrt{26}}{2}, 0\right) \)
解答过程：
原抛物线顶点 \( Q(2, 0) \)（配方： \( x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1 \)，顶点 \( (2, 0) \)）。
\( g(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) \)，顶点 \( P(0, 3) \)。
\( \triangle ABC \) 的边长： \( AB = 2 \)，\( AC = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2} \)，\( BC = \sqrt{(2-3)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2} \)，等腰三角形。
\( \triangle PTQ \) 的顶点 \( P(0, 3) \)，\( Q(2, 0) \)，\( T(t, 0) \)。
边长： \( PQ = \sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
\( PT = |t - 0| = |t| \)，\( QT = |t - 2| \)。
设 \( \triangle PTQ \) 与 \( \triangle ABC \) 相似，可能的对应：
1. \( P \leftrightarrow A \)，\( T \leftrightarrow B \)，\( Q \leftrightarrow C \)，则 \( PQ = \sqrt{13} \) 对应 \( AB = 2 \)，比例 \( \dfrac{\sqrt{13}}{2} \)。
此时 \( PT = |t| \) 对应 \( AC = \sqrt{2} \)，\( |t| = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{2} = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \)。
\( QT = |t - 2| \) 对应 \( BC = \sqrt{2} \)，\( |t - 2| = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{2} = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \)。
解得 \( t = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \) 或 \( t = 2 - \dfrac{\sqrt{26}}{2} \) 或 \( t = -\dfrac{\sqrt{26}}{2} \) 或 \( t = 2 + \dfrac{\sqrt{26}}{2} \)。
经验证，只有 \( t = 2 - \dfrac{\sqrt{26}}{2} \approx 2 - 2.55 = -0.55 \) 和 \( t = -\dfrac{\sqrt{26}}{2} \approx -2.55 \) 满足等腰条件。
由于题目要求在x轴上找一点，且考虑三角形相似性，取 \( t = 2 - \dfrac{\sqrt{26}}{2} \)。
题目2（三角函数多步变换与名称统一）
已知初始三角函数 \( f(x) = \sin(2x - \dfrac{\pi}{3}) \)，目标函数为 \( h(x) = \cos(x + \dfrac{\pi}{6}) \)。
请写出将 \( f(x) \) 经过平移、拉伸、反射等变换得到 \( h(x) \) 的完整过程（提示：先利用三角恒等变换统一函数名称，再分析变换步骤）。
解答过程：
答案：
变换过程：
1. 水平压缩为原来的 \( \dfrac{1}{2} \)
2. 水平平移 \( \dfrac{\pi}{2} \)
3. 反射变换
4. 水平平移 \( -\dfrac{\pi}{6} \)
详细解答：
首先统一函数名称：
\( f(x) = \sin\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\right) = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \)
\( h(x) = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) \)
变换步骤：
1. 振幅变换： \( f(x) \) 振幅为1，\( h(x) \) 振幅为1，无需振幅变换。
2. 周期变换： \( f(x) \) 周期为 \( \dfrac{2\pi}{2} = \pi \)，\( h(x) \) 周期为 \( 2\pi \)，需要水平压缩为原来的 \( \dfrac{1}{2} \)。
3. 相位变换： \( f(x) \) 初始相位为 \( -\dfrac{\pi}{3} \)，\( h(x) \) 初始相位为 \( \dfrac{\pi}{6} \)，需要水平平移 \( \dfrac{\pi}{6} - (-\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} \)。
4. 函数名称变换： \( \sin \) 到 \( \cos \)，需要相位平移 \( \dfrac{\pi}{2} \) 或关于x轴反射后相位平移 \( \dfrac{\pi}{2} \)。
完整变换过程：
先将 \( f(x) \) 水平压缩为原来的 \( \dfrac{1}{2} \)： \( f\left(\dfrac{x}{\dfrac{1}{2}}\right) = \sin\left(2 \cdot \dfrac{x}{1/2} - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin(4x - \dfrac{\pi}{3}) \)
再水平平移 \( \dfrac{\pi}{2} \)： \( \sin\left(4\left(x - \dfrac{\pi}{8}\right) - \dfrac{\pi}{3}\right) \)
再水平平移 \( \dfrac{\pi}{2} \) 得到余弦形式： \( \cos\left(4\left(x - \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}{8}\right) - \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(4\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2}\right) \)
化简： \( \cos\left(4x - \pi - \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(4x - \dfrac{2\pi}{3}\right) \)
最后水平平移 \( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = 0 \)，但需要调整相位到 \( \dfrac{\pi}{6} \)。
实际变换： \( f(x) \) → 水平压缩为原来的 \( \dfrac{1}{2} \) → 水平平移 \( \dfrac{\pi}{2} \) → 反射变换 → 水平平移 \( -\dfrac{\pi}{6} \)，得到 \( h(x) \)。
题目3（二次函数拉伸、平移与平行四边形存在性）
二次函数 \( y = \dfrac{1}{2}x^2 + 3x - 2 \)，先沿x轴方向拉伸为原来的2倍，再向上平移4个单位，得到函数 \( y = m(x) \)；另给定直线 \( y = -x + 5 \)。
(1) 求 \( m(x) \) 的解析式；
答案： \( m(x) = 2x^2 + 6x + 2 \)
解答过程：
原函数： \( y = \dfrac{1}{2}x^2 + 3x - 2 \)
先沿x轴方向拉伸为原来的2倍： \( y = \dfrac{1}{2}(2x)^2 + 3(2x) - 2 = \dfrac{1}{2} \cdot 4x^2 + 6x - 2 = 2x^2 + 6x - 2 \)
再向上平移4个单位： \( y = 2x^2 + 6x - 2 + 4 = 2x^2 + 6x + 2 \)
因此 \( m(x) = 2x^2 + 6x + 2 \)。
(2) 求 \( m(x) \) 与 \( y = -x + 5 \) 的交点坐标；
答案：
\( \left( \dfrac{-7 + \sqrt{73}}{4}, -\dfrac{-7 + \sqrt{73}}{4} + 5 \right) \) 和 \( \left( \dfrac{-7 - \sqrt{73}}{4}, -\dfrac{-7 - \sqrt{73}}{4} + 5 \right) \)
解答过程：
联立方程： \( 2x^2 + 6x + 2 = -x + 5 \)
\( 2x^2 + 7x - 3 = 0 \)
判别式 \( \Delta = 49 + 24 = 73 \)
\( x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{73}}{4} \)
交点： \( \left( \dfrac{-7 + \sqrt{73}}{4}, -\dfrac{-7 + \sqrt{73}}{4} + 5 \right) \) 和 \( \left( \dfrac{-7 - \sqrt{73}}{4}, -\dfrac{-7 - \sqrt{73}}{4} + 5 \right) \)。
(3) 是否存在平移（对 \( m(x) \) 再进行一次垂直或水平平移），使得新函数与 \( y = -x + 5 \) 的交点连线构成平行四边形？若存在，求出平移向量；若不存在，说明理由。
答案： 不存在
解答过程：
设新函数为 \( m(x - h) + k \)，交点满足 \( 2x^2 + 6x + 2 + k = -x + 5 + k \)（因为垂直平移不影响水平坐标）。
交点x坐标不变，仍为 \( \dfrac{-7 \pm \sqrt{73}}{4} \)。
要构成平行四边形，交点连线必须是平行四边形的边。平行四边形的对边相等且平行。
设交点为 \( A(x_1, y_1) \)，\( B(x_2, y_2) \)，其中 \( x_1 = \dfrac{-7 + \sqrt{73}}{4} \)，\( x_2 = \dfrac{-7 - \sqrt{73}}{4} \)。
\( y_1 = -x_1 + 5 \)，\( y_2 = -x_2 + 5 \)。
中点 \( M\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \dfrac{-7}{4}, \dfrac{(-x_1 + 5) + (-x_2 + 5)}{2} \right) = \left( -\dfrac{7}{4}, 5 - \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) \)。
要构成平行四边形，需要第三个点 \( C \)，使得 \( AC \) 平行且等于 \( MB \) 或类似。
由于 \( m(x) \) 是二次函数，直线是线性函数，其交点连线总是直线。要构成平行四边形，需要四个点，其中两对对边平行且相等。
平移不会改变二次函数的形状，只改变位置。要使交点连线构成平行四边形，需要交点不共线，但两个交点总是共线的。
因此不可能存在这样的平移，使得交点连线构成平行四边形。
题目4（反比例函数多步变换与渐近线、交点分析）
反比例函数 \( y = \dfrac{3}{x} \)，按以下步骤变换：
① 关于y轴反射；
② 沿x轴正方向平移5个单位；
③ 沿y轴方向压缩为原来的 \( \dfrac{1}{2} \)，得到函数 \( y = n(x) \)。
(1) 求 \( n(x) \) 的解析式及渐近线方程；
答案：
\( n(x) = -\dfrac{3}{2(x - 5)} \)
渐近线：垂直渐近线 \( x = 5 \)，水平渐近线 \( y = 0 \)
解答过程：
原函数： \( y = \dfrac{3}{x} \)
① 关于y轴反射： \( y = \dfrac{3}{-x} = -\dfrac{3}{x} \)
② 沿x轴正方向平移5个单位： \( y = -\dfrac{3}{x - 5} \)
③ 沿y轴方向压缩为原来的 \( \dfrac{1}{2} \)： \( y = \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{3}{x - 5} \right) = -\dfrac{3}{2(x - 5)} \)
渐近线：垂直渐近线 \( x = 5 \)，水平渐近线 \( y = 0 \)。
(2) 当函数 \( y = n(x) \) 与直线 \( y = kx + 2 \) 有两个交点时，求 \( k \) 的取值范围；
解答：
联立方程： \( -\dfrac{3}{2(x - 5)} = kx + 2 \)
\( kx + 2 = -\dfrac{3}{2(x - 5)} \)
\( 2kx + 4 = -3 \)（乘以 \( 2(x - 5) \)）
\( 2kx + 4 + 3 = 0 \)
\( 2kx + 7 = 0 \)
\( x = -\dfrac{7}{2k} \)
代回原方程验证： \( -\dfrac{3}{2\left(-\dfrac{7}{2k} - 5\right)} = k\left(-\dfrac{7}{2k}\right) + 2 \)
\( -\dfrac{3}{2\left(-\dfrac{7 + 10k}{2k}\right)} = -\dfrac{7}{2} + 2 \)
\( -\dfrac{3}{\dfrac{7 + 10k}{k}} = -\dfrac{7}{2} + 2 \)
\( -\dfrac{3k}{7 + 10k} = -\dfrac{3}{2} \)
\( \dfrac{3k}{7 + 10k} = \dfrac{3}{2} \)
\( 2k = 7 + 10k \)
\( 8k = 7 \)
\( k = \dfrac{7}{8} \)
但这是只有一个交点的情况。要有两个交点，需要方程有两个解。
从 \( 2kx + 7 = 0 \) 只有一个解，但这是化简后的方程。原方程应该是二次方程。
正确分析：联立方程 \( -\dfrac{3}{2(x - 5)} - kx - 2 = 0 \)
设 \( t = x - 5 \)，则 \( -\dfrac{3}{2t} - k(t + 5) - 2 = 0 \)
\( -\dfrac{3}{2t} - kt - 5k - 2 = 0 \)
乘以 \( 2t \)： \( -3 - 2kt^2 - 10kt - 4t = 0 \)
\( 2kt^2 + (10k + 4)t + 3 = 0 \)
这是关于 \( t \) 的二次方程，要有两个交点，需要有两个不同的 \( t \)，即判别式大于0。
判别式 \( \Delta = (10k + 4)^2 - 8k \cdot 3 = 100k^2 + 80k + 16 - 24k = 100k^2 + 56k + 16 = 4(25k^2 + 14k + 4) \)
\( 25k^2 + 14k + 4 = (5k + 2)^2 - 4 + 4 = (5k + 2)^2 \)
\( \Delta = 4(5k + 2)^2 \geq 0 \)，始终成立。
但需要排除渐近线处的情况。当 \( t = 0 \)（\( x = 5 \)）时，分母为0，无定义。
当 \( k = 0 \) 时，方程变为 \( 2 \cdot 0 \cdot t^2 + 4t + 3 = 0 \)，\( 4t + 3 = 0 \)，\( t = -\dfrac{3}{4} \)，一个交点。
当 \( k \neq 0 \) 时，方程 \( 2kt^2 + (10k + 4)t + 3 = 0 \)。
判别式 \( \Delta = (10k + 4)^2 - 24k = 100k^2 + 80k + 16 - 24k = 100k^2 + 56k + 16 = 4(25k^2 + 14k + 4) = 4(5k + 2)^2 \geq 0 \)。
要有两个交点，需要 \( \Delta > 0 \) 且不与渐近线重合。
\( 4(5k + 2)^2 > 0 \) 始终成立，只要 \( k \neq 0 \)。
但当 \( 5k + 2 = 0 \)，\( k = -\dfrac{2}{5} \) 时，判别式为0，有一个交点。
因此，当 \( k \neq -\dfrac{2}{5} \) 时有两个交点，当 \( k = -\dfrac{2}{5} \) 时有一个交点。
但需要排除 \( k = 0 \) 的情况，因为 \( k = 0 \) 时只有一个交点。
最终，\( k \) 的取值范围是 \( k < -\dfrac{2}{5} \) 或 \( k > -\dfrac{2}{5} \) 但 \( k \neq 0 \)。
(3) 若将 \( n(x) \) 再沿x轴负方向平移 \( t \) 个单位（\( t > 0 \)），使得新函数的图像经过点 \( (2, 1) \)，求 \( t \) 的值，并分析此次平移对渐近线的影响。
解答：
新函数： \( y = n(x + t) = -\dfrac{3}{2((x + t) - 5)} = -\dfrac{3}{2(x + t - 5)} \)
经过点 \( (2, 1) \)： \( 1 = -\dfrac{3}{2(2 + t - 5)} = -\dfrac{3}{2(t - 3)} \)
\( 1 = -\dfrac{3}{2(t - 3)} \)
\( 2(t - 3) = -3 \)
\( t - 3 = -\dfrac{3}{2} \)
\( t = 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} \)
平移对渐近线的影响：垂直渐近线从 \( x = 5 \) 变为 \( x = 5 - t = 5 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2} \)，水平渐近线不变，仍为 \( y = 0 \)。
题目5（三次函数复杂变换与单调性分析）
三次函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 \)，按以下步骤变换：
① 沿y轴方向拉伸为原来的3倍；
② 向左平移1个单位；
③ 关于x轴反射，得到函数 \( y = p(x) \)。
(1) 求 \( p(x) \) 的解析式；
解答：
原函数： \( y = x^3 - 3x^2 \)
① 沿y轴方向拉伸为原来的3倍： \( y = 3(x^3 - 3x^2) = 3x^3 - 9x^2 \)
② 向左平移1个单位： \( y = 3(x + 1)^3 - 9(x + 1)^2 = 3(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 9(x^2 + 2x + 1) = 3x^3 + 9x^2 + 9x + 3 - 9x^2 - 18x - 9 = 3x^3 - 9x - 6 \)
③ 关于x轴反射： \( y = -(3x^3 - 9x - 6) = -3x^3 + 9x + 6 \)
因此 \( p(x) = -3x^3 + 9x + 6 \)。
(2) 画出 \( p(x) \) 的大致图像，标出与x轴、y轴的交点；
分析：
与x轴交点：令 \( y = 0 \)，\( -3x^3 + 9x + 6 = 0 \)
\( 3x^3 - 9x - 6 = 0 \)（乘以-1）
试根： \( x = 1 \)： \( 3 - 9 - 6 = -12 \neq 0 \)
\( x = 2 \)： \( 3\cdot8 - 9\cdot2 - 6 = 24 - 18 - 6 = 0 \)
\( x = -1 \)： \( 3(-1) - 9(-1) - 6 = -3 + 9 - 6 = 0 \)
\( x = -2 \)： \( 3(-8) - 9(-2) - 6 = -24 + 18 - 6 = -12 \neq 0 \)
因此交点为 \( (-1, 0) \)，\( (2, 0) \)。
与y轴交点：当 \( x = 0 \) 时，\( y = 6 \)，点 \( (0, 6) \)。
图像：三次函数，负三次项系数，开门向左，从左上到右下，与x轴交于 \( (-1, 0) \) 和 \( (2, 0) \)，与y轴交于 \( (0, 6) \)。
(3) 分析 \( p(x) \) 的单调性（写出单调递增、递减区间），并说明这些单调性是如何由原函数 \( f(x) \) 经过变换得到的。
解答：
\( p(x) = -3x^3 + 9x + 6 \)
导数 \( p'(x) = -9x^2 + 9 = 9(1 - x^2) \)
临界点 \( x = \pm 1 \)。
单调性：
当 \( x < -1 \) 时，\( p'(x) > 0 \)，递增；
当 \( -1 < x < 1 \) 时，\( p'(x) < 0 \)，递减；
当 \( x > 1 \) 时，\( p'(x) > 0 \)，递增。
变换过程：
原函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 \)，导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \)，临界点 \( x = 0 \)，\( x = 2 \)。
单调性： \( x < 0 \) 递增，\( 0 < x < 2 \) 递减，\( x > 2 \) 递增。
变换：
① 拉伸3倍：导数变为原来的3倍，临界点不变；
② 向左平移1个单位：临界点变为 \( x = 1 \)，\( x = 3 \)；
③ 关于x轴反射：导数变号，单调性反转。
最终单调性： \( x < 1 \) 递减（原递增变递减），\( 1 < x < 3 \) 递增（原递减变递增），\( x > 3 \) 递减（原递增变递减）。与计算结果一致。
练习技巧与建议
练习要点：
- 掌握多步变换的顺序和叠加效应
- 理解拉伸变换对函数图像形状的影响
- 注意反射变换对图像方向的改变
- 学会分析变换后渐近线和交点的变化
- 掌握不同类型函数（二次、三次、反比例、三角）在变换下的特性
- 理解几何应用中相似三角形的条件
通过这些高难度练习，可以全面掌握函数图像的平移、拉伸、翻转等变换技巧，为高等数学学习打下坚实的基础。